Пример подробного решения производной

Итак, нам нужно вычислить производную:

Используем формулу для вычисления производной произведения:
\(\frac{\mathrm{d}(u \cdot v)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\cdot v+\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\cdot u\), где \(u=x\) и \(v=\sin^2(x)\):

Производная от \(x\) по \(x\) равна \(1\):

Используем правило дифференцирования сложной функции:
\(\frac{\mathrm{d}f(g)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f(g)}{\mathrm{d}g}\cdot \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\)
В нашем случае: \(f(g)=g^2\) и \(g=\sin(x)\).
Подставляем эти данные в приведённую выше формулу:
\(\frac{\mathrm{d}(\sin^2(x))}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}g^2}{\mathrm{d}g}\cdot \frac{\mathrm{d}\sin(x)}{\mathrm{d}x}\)
Причем, \(\frac{\mathrm{d}g^2}{\mathrm{d}g}=2\cdot g^{2-1}=2\cdot \sin^{2-1}(x)=2\cdot \sin(x)\).
Подставляем полученные результаты в исходное выражение:

Используя таблицу производных \(\left(\frac{\mathrm{d}\sin(x)}{\mathrm{d}x}=\cos(x)\right)\), получаем: