Определение, аксиомы и примеры групп

В данной статье поговорим о том, что такое группа, дадим её определение, а также рассмотрим примеры групп.

Определение группы

Классическое определение группы выглядит следующим образом:

Группа - это множество с одной бинарной операцией , которая удовлетворяет следующим аксиомам группы:

1. 
2. 
3. 
4. 

Рассмотрим замечания, связанные с определением группы.

Замечание №1

Важно понимать, что в группе определена всего лишь одна бинарная операция. Например, мы привыкли работать с обычными для нас действительными числами. С данными числами можно производить различные операции: сложение, вычитание, умножение и деление. В случае же группы с элементами можно производить только лишь одну операцию.

Замечание №2

Иногда для облегчения записи вместо пишут просто , понимая при этом какая операция определена в группе. Обратите внимание на то, что под операцией подразумевается, вообще говоря, любая операция, необязательно умножение. Однако, данную операцию принято называть операцией умножения.

Далее, дадим определение бинарной операции.

Бинарная операция - это операция, которая взаимодействует с двумя элементами множества. Например, в множестве целых чисел нам знакома привычная операция сложение - бинарный плюс 5+9. Данная операция взаимодействует с двумя числами 5 и 9 Примером операции, которая взаимодействует лишь с одним элементом множества, может служить унарный минус на множестве целых чисел с помощью которого обозначаются отрицательные числа. Например, отрицательное число −5.

Теперь рассмотрим более подробно, каждое из приведённых свойств группы.

Аксиомы группы

Первая аксиома группы называется: Замкнутость относительно операции, введённой в группе. При этом говорят, что группа замкнута относительно операции, введённой на ней. Данное свойство означает, что какие бы элементы из группы мы не рассматривали, их произведение всегда будет принадлежать этой же самой группе. Например, рассмотрим - произведение данных элементов принадлежит группе . Данную аксиому также можно понимать так: . Это означает, что после применения операции умножения к элементам получится элемент , принадлежащий группе .

Вторая аксиома группы называется Ассоциативность относительно операции, введённой в группе. Данное свойство означает, что нет разницы в каком порядке применять операцию к элементам группы. К примеру сначала можно применить операцию к элементам , а затем получившийся элемент умножить справа на или, наоборот, сначала применить операцию к элементам , а затем получившийся элемент умножить слева на .

Третья аксиома группы называется: Существование нейтрального элемента. Данное свойство означает, что в любой группе существует нейтральный элемент - такой элемент, который при взаимодействии с другими элементами данной группы не изменяет их. Стоит отметить, что в группе существует только один нейтральный элемент.

Четвёртая аксиома группы называется: Существование обратного элемента для любого элемента группы. Данное свойство означает, что все элементы группы являются обратимыми, то есть абсолютно для любого элемента существует обратный элемент - тот элемент, который при умножении на данный в качестве результата даёт нейтральный элемент группы.

Примеры групп

1. - группа действительных чисел без нуля с обычной операцией умножения.
   Следуя аксиомам несложно проверить, что данное множество с операцией умножения является группой:
   • Очевидно, что при умножении двух любых действительных чисел также получится действительное число.
   • Операция умножения является ассоциативной.
   • Роль нейтрального элемента здесь играет привычная нам единица: .
   • Для любого числа существует обратное ему число - обратная дробь: , также являющаяся действительным числом.
   Также данную группу обозначают следующим образом: и называют группой обратимых элементов множества действительных чисел или мультипликативной группой поля действительных чисел. Данное название следует из того, что в обратимыми являются все числа, кроме 0.
2. - группа целых чисел относительно операции сложения.
   Кратко рассмотрим выполнение аксиом для данной группы:
   • Очевидно, что при сложении двух любых целых чисел получится целое число.
   • Операция сложения является ассоциативной.
   • Нейтральным элементом в данной группе является 0.
   • Для любого целого числа существует обратное ему число - противоположное число , также являющееся целым числом.
3. - группа всех геометрических векторов в пространстве относительно операции сложения векторов..
   Это обычные вектора, с которыми мы привыкли работать в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz. Вспомните, что для сложения двух векторов можно использовать правило треугольника или параллелограмма. Для сложения трёх и более векторов необходимо использовать правило многоугольника.
   Рассмотрим выполнение аксиом для данной группы:
   • Результатом сложения двух любых векторов является вектор.
   • Операция сложения векторов является ассоциативной.
   • Нейтральным элементом в группе является нулевой вектор .
   • Для любого вектора существует противоположный ему вектор: .