Интегрирование методом замены переменной

В основе метода лежит следующее простое свойство неопределенного интеграла:

замена переменной в интеграле

Мы выражаем исходную переменную интегрирования x через новую переменную t и получаем выражение для dx. Затем подставляем полученные выражения в исходный интеграл. Предполагается, что замена подобрана таким образом, что последний интеграл вычислить легче, чем исходный.

Рассмотрим пример:

sin3xcosxdxtsinxdtcosxdxt3dtt44Constsin4x4Const

мы ввели новую переменную по формуле:

tsinx

затем вычислили величину dt:

дифференциал от новой переменной

после этого мы подставили полученные выражения в исходный интеграл:

выражение для интеграла через новую переменную

В результате замены переменной, мы получили более простой интеграл:

t3dt

который уже гораздо легче вычислить:

t3dtt44Const

после вычисления, мы должны вернуться к старой переменной:

t44tsinxsin4x4

таким образом, окончательно, получаем:

sin3xcosxdxsin4x4Const

Полученный результат всегда можно проверить обратным дифференцированием:

проверка правильности решения интеграла

Рассмотрим еще один пример:

1x13xdxxt6t6xdx6t5dt6t5t613t6dt6t5t31t2dt6t21t2dt

продолжаем:

6111t2dt61dt11t2dt6tarctgtConst66xarctg6xConst

Воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором интегралов который автоматически определит и сделает оптимальную замену для вычисления вашего неопределенного интеграла. При этом весь ход решения будет подробно расписан по шагам.

Другие полезные разделы:

Таблица производных
Площадь криволинейной фигуры онлайн

Оставить свой комментарий: