Обратная матрица онлайн

Для любой невырожденной квадратной матрицы (т.е. такой определитель которой отличен от нуля), существует обратная матрица, такая, что её произведение на исходную матрицу равно единичной:

A∙A⁻¹ = A⁻¹∙A = E

Наш калькулятор поддерживает два различных способа вычисления обратной матрицы: по методу Гаусса-Жордана и при помощи построения алгебраических дополнений к исходной матрице.

Для нахождения обратной матрицы по методу Гаусса-Жордана, к исходной матрице справа дописывают единичную матрицу:

( A | E )

Затем, с помощью элементарных преобразований приводят исходную матрицу к единичной, выполняя теже самые операции и над единичной матрицей, записанной справа. В результате таких действий исходная матрица приводится к единичной, а единичная к обратной:

( A | E) → ( E | A⁻¹ )

Метод довольно простой, удобный и не очень трудоемкий.

Для нахождения обратной матрицы при помощи метода алгебраических дополнений используют следующую формулу:

где | A | - определитель матрицы A,
A_{i j} - алгебраическое дополнение элемента a_{i j} матрицы A.

По определению:

A_{i j} = (-1) ^i+j M_{i j}

где M_{i j} - минор элемента a_{i j} матрицы A.

По определению - минор элемента a_{i j} матрицы A - это определитель, полученный путем вычеркивания i строки, j столбца матрицы A.

Таким образом, метод алгебраических дополнений для вычисления обратной матрицы порядка n является достаточно трудоемким, поскольку помимо определителя исходной матрицы, нужно вычислить n² определителей n-1 порядка.