Аддитивная и мультипликативная форма записи бинарной операции в группе, примеры

Как правило, наиболее распространёнными формами записи бинарной операции в группе являются аддитивная: + и мультипликативная: •.

Аддитивная запись бинарной операции

Если в группе Обозначение группы бинарная операция бинарная операция в группе является операцией сложения, то данная группа называется аддитивной группой и обозначается Обозначение аддитивной группы.

Примеры аддитивных групп

  1. Любое кольцо или поле является группой относительно операции сложения (определённой в этом кольце). Данная группа называется аддитивной группой кольца или поля соответственно.
    Рассмотрим несколько примеров аддитивных групп:
    • Пример аддитивной группы целых чисел - аддитивная группа кольца целых чисел. Вспомните, что множество целых чисел Множество всех целых чисел является коммутативным ассоциативным кольцом с 1 относительно привычных нам операций сложения и умножения целых чисел.
    • Пример аддитивной группы действительных чисел - аддитивная группа поля действительных чисел. Множество всех действительных чисел Множество всех действительных чисел является полем относительно привычных нам операций сложения и умножения действительных чисел.
    • Пример аддитивной группы комплексных чисел - аддитивная группа поля комплексных чисел. Множество всех комплексных чисел Множество всех комплексных чисел является полем относительно операций сложения и умножения комплексных чисел.
    • Пример аддитивной группы рациональных чисел - аддитивная группа поля рациональных чисел. Множество всех рациональных чисел Множество всех рациональных чисел является полем относительно операций сложения и умножения дробей.
  2. Пример аддитивной группы геометрических векторов в пространстве - аддитивная группа всех геометрических векторов в пространстве.

Мультипликативная запись бинарной операции

Если в группе Обозначение группы бинарная операция бинарная операция в группе является операцией умножения, то данная группа называется мультипликативной группой и обозначается Обозначение мультипликативной группы.

Замечание

Также существуют мультипликативные группы колец или полей. Для рассмотрения примеров таких групп сначала дадим определения некоторых терминов.

Определение обратимого элемента в кольце. Пусть Ассоциативное кольцо с 1 - ассоциативное кольцо с 1, тогда элемент Обратимый элемент ассоциативного кольца с 1 называется обратимым, если существует элемент Обратный элемент b к элементу a такой, что: определение обратимого элемента , причём элемент b = a−1.

Обозначение. Множество всех обратимых элементов кольца Ассоциативное кольцо с 1 обозначается, как Множество всех обратимых элементов кольца.

Следствие. В поле Поле обратимыми элементами являются все элементы, кроме 0. То есть Множество всех обратимых элементов поля.

Примеры мультипликативных групп

  1. Множество всех элементов кроме 0 (нейтрального элемента относительно операции сложения) поля Поле является группой относительно операции умножения (определённой в данном поле). Данная группа называется мультипликативной группой поля и обозначается Мультипликативная группа поля.
    Рассмотрим несколько примеров мультипликативных групп поля:
    • Мультипликативная группа поля действительных чисел - мультипликативная группа поля действительных чисел.
    • Мультипликативная группа поля комплексных чисел - мультипликативная группа поля комплексных чисел.
    • Мультипликативная группа поля рациональных чисел - мультипликативная группа поля рациональных чисел.
  2. Множество всех обратимых элементов ассоциативного кольца с 1 - Ассоциативное кольцо с 1 является группой относительно операции умножения (определённой в этом кольце). Данная группа называется мультипликативной группой кольца и обозначается Мультипликативная группа кольца.
    Рассмотрим несколько примеров мультипликативных групп колец:
    • Мультипликативная группа кольца целых чисел - мультипликативная группа кольца целых чисел. Заметим, что в кольце целых чисел обратимыми числами являются только числа 1 и -1, так как обратимыми элементами для целых чисел являются дроби, а их нет среди целых чисел. Например, для целого числа 5 обратным элементом является обратная дробь Обратная дробь к числу 5. Эта дробь не является целым числом, а значит для целого числа 5 не существует обратного элемента среди целых чисел. Однако для чисел 1 и −1 существуют обратные элементы - обратные дроби: Обратная дробь к числу 1 и Обратная дробь к числу -1. , которые являются целыми числами. Иными словами обратимыми элементами для целых чисел 1 и −1 являются они же сами.
  3. Общая линейная группа - группа всех обратимых (невырожденных) квадратных матриц размера n×n относительно операции умножения матриц.
    Данная группа называется общей линейной группой и согласно определению выглядит следующим образом: Определение общей линейной группы. Напомним, что матрица называется невырожденной или обратимой, если её определитель не равен 0. Множество всех действительных чисел - в круглых скобках означает, что элементами матрицы X являются действительные числа. Более подробно данная группа будет разобрана в следующих статьях.

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий: