Аддитивная и мультипликативная форма записи бинарной операции в группе, примеры

Как правило, наиболее распространёнными формами записи бинарной операции в группе являются аддитивная: + и мультипликативная: •.

Аддитивная запись бинарной операции

Если в группе бинарная операция является операцией сложения, то данная группа называется аддитивной группой и обозначается .

• В аддитивной группе результат применения операции сложения к элементам называется суммой и обозначается .
• Нейтральный элемент e_G в аддитивной группе называется нулём и обозначается 0.
• Обратный элемент к элементу g обозначается -g и называется противоположным элементом.

Примеры аддитивных групп

1. Любое кольцо или поле является группой относительно операции сложения (определённой в этом кольце). Данная группа называется аддитивной группой кольца или поля соответственно.
   Рассмотрим несколько примеров аддитивных групп:
   • - аддитивная группа кольца целых чисел. Вспомните, что множество целых чисел является коммутативным ассоциативным кольцом с 1 относительно привычных нам операций сложения и умножения целых чисел.
   • - аддитивная группа поля действительных чисел. Множество всех действительных чисел является полем относительно привычных нам операций сложения и умножения действительных чисел.
   • - аддитивная группа поля комплексных чисел. Множество всех комплексных чисел является полем относительно операций сложения и умножения комплексных чисел.
   • - аддитивная группа поля рациональных чисел. Множество всех рациональных чисел является полем относительно операций сложения и умножения дробей.
2. - аддитивная группа всех геометрических векторов в пространстве.

Мультипликативная запись бинарной операции

Если в группе бинарная операция является операцией умножения, то данная группа называется мультипликативной группой и обозначается .

• В мультипликативной группе результат применения операции умножения к элементам называется произведением и обозначается или в сокращённой записи .
• Нейтральный элемент e_G в мультипликативной группе называется единицей и обозначается 1.
• Обратный элемент к элементу g обозначается g^-1 и также называется обратным элементом.

Замечание

Также существуют мультипликативные группы колец или полей. Для рассмотрения примеров таких групп сначала дадим определения некоторых терминов.

Определение обратимого элемента в кольце. Пусть - ассоциативное кольцо с 1, тогда элемент называется обратимым, если существует элемент такой, что: , причём элемент b = a⁻¹.

Обозначение. Множество всех обратимых элементов кольца обозначается, как .

Следствие. В поле обратимыми элементами являются все элементы, кроме 0. То есть .

Примеры мультипликативных групп

1. Множество всех элементов кроме 0 (нейтрального элемента относительно операции сложения) поля является группой относительно операции умножения (определённой в данном поле). Данная группа называется мультипликативной группой поля и обозначается .
   Рассмотрим несколько примеров мультипликативных групп поля:
   • - мультипликативная группа поля действительных чисел.
   • - мультипликативная группа поля комплексных чисел.
   • - мультипликативная группа поля рациональных чисел.
2. Множество всех обратимых элементов ассоциативного кольца с 1 - является группой относительно операции умножения (определённой в этом кольце). Данная группа называется мультипликативной группой кольца и обозначается .
   Рассмотрим несколько примеров мультипликативных групп колец:
   • - мультипликативная группа кольца целых чисел. Заметим, что в кольце целых чисел обратимыми числами являются только числа 1 и -1, так как обратимыми элементами для целых чисел являются дроби, а их нет среди целых чисел. Например, для целого числа 5 обратным элементом является обратная дробь . Эта дробь не является целым числом, а значит для целого числа 5 не существует обратного элемента среди целых чисел. Однако для чисел 1 и −1 существуют обратные элементы - обратные дроби: и . , которые являются целыми числами. Иными словами обратимыми элементами для целых чисел 1 и −1 являются они же сами.
3. - группа всех обратимых (невырожденных) квадратных матриц размера n×n относительно операции умножения матриц.
   Данная группа называется общей линейной группой и согласно определению выглядит следующим образом: . Напомним, что матрица называется невырожденной или обратимой, если её определитель не равен 0. - в круглых скобках означает, что элементами матрицы X являются действительные числа. Более подробно данная группа будет разобрана в следующих статьях.