Разложение в ряд Фурье онлайн

В качестве примера найдём разложение в ряд Фурье для функции на отрезке . В этом случае длина отрезка разложения и коэффициенты , , вычисляются по формулам:

Таким образом, разложение функции в ряд Фурье на отрезке имеет вид:

На рисунке ниже приведено два графика: (красным цветом) и , (синим цветом) для которого мы взяли порядок разложения равным .

Стоит отметить, что в приведенном выше примере, коэффициенты и равны нулю не случайно. Дело в том, что функция является нечётной. Функция - напротив является чётной. Произведение чётной функции на нечётную является нечётной функцией, поэтому согласно свойствам, определённый интеграл от нечётной функции на симметричном интервале равен нулю.

В случае, если бы мы раскладывали в ряд Фурье на симметричном интервале какую-нибудь чётную функцию, например , коэффициенты равнялись бы нулю, поскольку в этом случае, подынтегральное выражение являлось бы нечётной функцией.

Исходя из приведённых выше рассуждений можно сделать следующие выводы:

Разложение в ряд Фурье нечётной функции на симметричном отрезке будет содержать только слагаемые с синусами.

Разложение в ряд Фурье чётной функции на симметричном отрезке будет содержать только слагаемые с косинусами.

Если нам необходимо получить разложение в ряд Фурье некоторой произвольной функции на отрезке , то у нас есть две возможности. Мы можем продлить эту функцию на отрезок нечётным образом и тогда в разложении получим только синусы. Или же мы можем продлить её на указанный отрезок чётным образом и тогда получим в разложении только косинусы.

Разработанный нами онлайн калькулятор позволяет получать разложение заданной функции в ряд Фурье в общем виде или только по синусам/косинусам, на любом заданном отрезке.