Разложение некоторой функции f(x) в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [-k, k] имеет вид:
где
для (n = 0, 1, 2, 3,...)
для (n = 1, 2, 3,...)
В качестве примера, разложим в ряд Фурье функцию f(x)=x на отрезке [-1, 1]. В этом случае коэффициенты an и bn определяются по формулам:
Таким образом, разложение функции f(x)=x в ряд Фурье на отрезке [-1, 1] имеет вид:
На рисунке ниже приведено два графика: f(x)=x (красным цветом) и , (синим цветом) для которого мы взяли порядок разложения функции в ряд Фурье равным 25.
Стоит отметить, что в приведенном выше примере, коэффициенты an равны нулю не случайно. Дело в том, что функция f(x)=x является нечетной на интервале [-1, 1]. Функция - напротив является чётной. Произведение чётной функции на нечетную является нечётной функцией, поэтому согласно свойствам, интеграл от нечётной функции на симметричном интервале равен нулю.
В случае, если бы мы раскладывали в ряд Фурье на симметричном интервале какую-нибудь чётную функцию, например x2 , коэффициенты bn равнялись бы нулю, поскольку в этом случае, подинтегральное выражение - являлось бы нечётной функцией.
Исходя из приведённых выше рассуждений можно сделать следующие выводы:
Стоит также отметить, что используя приведённые выше формулы и соответствующую замену переменной, можно получить формулы для коэффициентов разложения функции в ряд Фурье на произвольном интервале [p, q]:
здесь .
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha раскладывает произвольную функцию в ряд Фурье на интервале [-π π]. В принципе, это не накладывает существенных ограничений, поскольку, используя соответствующую замену переменной, мы можем получить разложение на произвольном интервале [p, q].