Разложение в ряд Фурье онлайн

Разложение некоторой функции f(x) в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [-k, k] имеет вид:

где

для (n = 0, 1, 2, 3,...)

для (n = 1, 2, 3,...)

В качестве примера, разложим в ряд Фурье функцию f(x)=x на отрезке [-1, 1]. В этом случае коэффициенты a_n и b_n определяются по формулам:

Таким образом, разложение функции f(x)=x в ряд Фурье на отрезке [-1, 1] имеет вид:

На рисунке ниже приведено два графика: f(x)=x (желтым цветом) и , (синим цветом) для которого мы взяли порядок разложения функции в ряд Фурье равным 25.

Стоит отметить, что в приведенном выше примере, коэффициенты a_n равны нулю не случайно. Дело в том, что функция f(x)=x является нечетной на интервале [-1, 1]. Функция - напротив является чётной. Произведение чётной функции на нечетную является нечётной функцией, поэтому согласно свойствам , интеграл от нечётной функции на симметричном интервале равен нулю.

В случае, если бы мы раскладывали в ряд Фурье на симметричном интервале какую-нибудь чётную функцию, например x² , коэффициенты b_n равнялись бы нулю, поскольку в этом случае, подинтегральное выражение - являлось бы нечётной функцией.

Исходя из приведённых выше рассуждений можно сделать следующие выводы:

• Разложение в ряд Фурье нечётной функции на симметричном интервале будет содержить только слагаемые с синусами.
• Разложение в ряд Фурье чётной функции на симметричном интервале будет содержить только слагаемые с косинусами.
• Если нам необходимо получить разложение в ряд Фурье некоторой произвольной функции на интервале [0, b] , то у нас есть две возможности. Мы можем продолжить эту функцию на интервал [-b, 0] нечётным образом и тогда в разложении получим только синусы. Или же мы можем продолжить её в указанный интервал чётным образом и тогда получим в разложении только косинусы.

Стоит также отметить, что используя приведённые выше формулы и соответствующую замену переменной, можно получить формулы для коэффициентов разложения функции в ряд Фурье на произвольном интервале [p, q]:

здесь .

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha раскладывает произвольную функцию в ряд Фурье на интервале [-π π]. В принципе, это не накладывает существенных ограничений, поскольку, используя соответствующую замену переменной, мы можем получить разложение на произвольном интервале [p, q].