Разложение в ряд Фурье онлайн

ссылка для быстрой прокрутки к виджету калькулятора

Разложение некоторой функции f(x) в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [-k, k] имеет вид:

a02n1ancosnπxkbnsinnπxk

где

an1kkkfxcosnπxkdx для (n = 0, 1, 2, 3,...)

bn1kkkfxsinnπxkdx для (n = 1, 2, 3,...)

В качестве примера, разложим в ряд Фурье функцию f(x)=x на отрезке [-1, 1]. В этом случае коэффициенты an и bn определяются по формулам:

an11xcosnπxdx0

bn11xsinnπxdx21nnπ

Таким образом, разложение функции f(x)=x в ряд Фурье на отрезке [-1, 1] имеет вид:

n121nnπsinnπx

На рисунке ниже приведено два графика: f(x)=x (желтым цветом) и yx25n121nnπsinnπx , (синим цветом) для которого мы взяли порядок разложения функции в ряд Фурье равным 25.

график функции у=x и её разложения в ряд Фурье до 25 порядка

Стоит отметить, что в приведенном выше примере, коэффициенты an равны нулю не случайно. Дело в том, что функция f(x)=x является нечетной на интервале [-1, 1]. Функция cosnπx - напротив является чётной. Произведение чётной функции на нечетную является нечётной функцией, поэтому согласно свойствам , интеграл от нечётной функции на симметричном интервале равен нулю.

В случае, если бы мы раскладывали в ряд Фурье на симметричном интервале какую-нибудь чётную функцию, например x2 , коэффициенты bn равнялись бы нулю, поскольку в этом случае, подинтегральное выражение x2sinnπx - являлось бы нечётной функцией.

Исходя из приведённых выше рассуждений можно сделать следующие выводы:

Стоит также отметить, что используя приведённые выше формулы и соответствующую замену переменной, можно получить формулы для коэффициентов разложения функции в ряд Фурье на произвольном интервале [p, q]:

an1kqpfxcosnπxkdx

bn1kqpfxsinnπxkdx

здесь kqp2 .

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha раскладывает произвольную функцию в ряд Фурье на интервале [-π π]. В принципе, это не накладывает существенных ограничений, поскольку, используя соответствующую замену переменной, мы можем получить разложение на произвольном интервале [p, q].

Разложение в ряд Фурье
Разложить функцию fxx2в ряд Фурье на интервале [π;π]по общей формуле.Порядок разложения равен 5.
Введите функцию, которую Вы хотите разложить в ряд Фурье


Установить калькулятор на свой сайт

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий: