Пример подробного решения параметрической производной

Пошаговое нахождение параметрической производной, реализуемое нашим онлайн калькулятором выглядит следующим образом:

Калькулятор параметрической производной

Найти производную функции, заданной параметрически:

$$ \left\{ \begin{aligned} &x(t) = 1 + \sin(t) \\ &y(t) = 2 \cdot t - \cos(t) \end{aligned} \right.$$

$t$ - параметрическая переменная.

Интерпретация входных данных

Найти производную $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ функции, заданной параметрически:

$$ \left\{ \begin{aligned} &x(t) = 1 + \sin(t) \\ &y(t) = 2 \cdot t - \cos(t) \end{aligned} \right.$$

Ответ

$\left(2+\sin\left(t\right)\right)\cdot\sec\left(t\right)$

Подробное решение

Шаг 1

Формула для вычисления производной функции, заданной параметрически, имеет вид:

$\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}}$

Шаг 2

Сначала вычисляем производную $\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}$:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(2\cdot t-\cos(t)\right)$

Шаг 3

Производная суммы равна сумме производных:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(2\cdot t\right)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(-\cos(t)\right)$

Шаг 4

Выносим постоянные множители из под знака производной:

$2\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(-\cos(t)\right)$

Шаг 5

Производная от $t$ по $t$ равна $1$:

$2+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(-\cos(t)\right)$

Шаг 6

Выносим постоянные множители из под знака производной:

$2-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\cos(t)\right)$

Шаг 7

Используя таблицу производных $\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\cos(t)\right)=-\sin(t)\right)$, получаем:

$2+\sin(t)$

Шаг 8

Итак, мы получили, что:

$\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}=2+\sin(t)$

Шаг 9

Теперь, вычисляем производную $\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}$:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(1+\sin(t))$

Шаг 10

Производная суммы равна сумме производных:

$\frac{\mathrm{d}1}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\sin(t)}{\mathrm{d}t}$

Шаг 11

Производная постоянной равна нулю:

$\frac{\mathrm{d}\sin(t)}{\mathrm{d}t}$

Шаг 12

Используя таблицу производных $\left(\frac{\mathrm{d}\sin(t)}{\mathrm{d}t}=\cos(t)\right)$, получаем:

$\cos(t)$

Шаг 13

Итак, мы получили, что:

$\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=\cos(t)$

Шаг 14

Подставляем полученные данные в исходную формулу:

$\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}}=\frac{2+\sin(t)}{\cos(t)}=\left(2+\sin(t)\right)\cdot \sec(t)$

Установить калькулятор на свой сайт

Наш онлайн калькулятор выдает подробное решение производной от функции заданной параметрически. В нашем решении вы без труда сможете разобраться. Уникальность нашего онлайн сервиса заключается в том, что он адаптирован под российские стандарты образования которым учат в наших ВУЗах. Следовательно, подробное решение вы получите как раз в том виде, в котором требует ваш преподаватель. Не стоит тратить время, просто введите свое задание, нажмите на кнопку и получите подробное решение прямо сейчас.

Пример подробного решения параметрической производной

Подробное решение

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий: