Пример подробного разложения дроби в сумму элементарных дробей

Подробное разложение дроби в сумму элементарных дробей, полученное нашим онлайн калькулятором выглядит следующим образом:

Калькулятор разложения дроби в сумму дробей:

Найти разложение дроби в сумму элементарных дробей:

\(\dfrac{x^2+4\cdot x-1}{x \cdot (x-1) \cdot (x^2+x-1)}\)

Интерпретация входных данных

Найти разложение дроби в сумму элементарных дробей:

\(\dfrac{x^2+4\cdot x-1}{x \cdot (x-1) \cdot (x^2+x-1)}\)

Ответ:

\(-\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x-1}-\dfrac{3\cdot x+6}{x^2+x-1}\)

Подробное решение:

Шаг 1

Поскольку степень числителя меньше степени знаменателя, исходная дробь является правильной. Записываем разложение нашей дроби в сумму простейших дробей в общем виде (с неизвестными пока коэффициентами):

\(\dfrac{x^2+4\cdot x-1}{x \cdot (x-1) \cdot (x^2+x-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C\cdot x+D}{x^2+x-1}\)

Шаг 2

Чтобы определить неизвестные коэффициенты в разложении, домножаем выражение на общий знаменатель:

\(x^2+4\cdot x-1=A\cdot\left(x-1\right)\cdot\left(x^2+x-1\right)+B\cdot x\cdot \left(x^2+x-1\right)+\left(C\cdot x+D\right)\cdot x\cdot\left(x-1\right)\)

Шаг 3

Определяем коэффициенты при степенях \(x\):

\(x^2+4\cdot x-1=A+\left(-2\cdot A-B-D\right)\cdot x+\left(B-C+D\right)\cdot x^2+\left(A+B+C\right)\cdot x^3\)

Шаг 4

Чтобы сохранить верное равенство, мы должны приравнять коэффициенты при одинаковых степенях \(x\):

\(\begin{cases}-1=A \\ 4=-2\cdot A-B-D \\ 1=B-C+D \\ 0=A+B+C\end{cases}\)

Шаг 5

В результате решения СЛАУ, находим неизвестные коэффициенты:

\(\begin{cases}A=-1 \\ B=4 \\ C=-3 \\ D=-6\end{cases}\)

Шаг 6

Подставляем вместо неизвестных коэффициентов их значения, в результате разложение имеет вид:

\(\dfrac{x^2+4\cdot x-1}{x \cdot (x-1) \cdot (x^2+x-1)}=-\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x-1}-\dfrac{3\cdot x+6}{x^2+x-1}\)

Установить калькулятор на свой сайт

Как видно, наш онлайн калькулятор подробно рассписывает все шаги разложения дроби в сумму элементарных дробей, поэтому вы легко сможете в них разобраться! Не теряйте времени, воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором и получите пошаговое разложение дроби в сумму элементарных дробей прямо сейчас.

Пример подробного разложения дроби в сумму элементарных дробей

Подробное решение:

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий: