Пример подробного решения неопределенного интеграла

Подробное решение неопределенного интеграла, вычисленное нашим онлайн калькулятором выглядит следующим образом:

Калькулятор неопределённых интегралов
Вычислить неопределённый интеграл:
\(\displaystyle\int{\dfrac{4}{5\cdot x^2+7\cdot x+8}}\,\mathrm{d}x\)


Интерпретация входных данных
Вычислить неопределённый интеграл:
\(\displaystyle\int{\dfrac{4}{5\cdot x^2+7\cdot x+8}}\,\mathrm{d}x\)
Ответ
\(\frac{8}{\sqrt{111}}\cdot \arctg\left(\frac{10\cdot x+7}{\sqrt{111}}\right)+Const\)

Подробное решение

Шаг 1
Интегрируем выражение:
\(\displaystyle\int{\dfrac{4}{5\cdot x^2+7\cdot x+8}}\,\mathrm{d}x\)
Шаг 2
Выносим за скобки множитель в знаменателе:
\(\displaystyle\int{\dfrac{4}{5\cdot \left(x^2+\frac{7\cdot x}{5}+\frac{8}{5}\right)}}\,\mathrm{d}x\)
Шаг 3
Выносим постоянные величины из под знака интеграла:
\(\dfrac{4}{5}\cdot\displaystyle\int{\dfrac{1}{x^2+\frac{7\cdot x}{5}+\frac{8}{5}}}\,\mathrm{d}x\)
Шаг 4
Выделяем полный квадрат в знаменателе:
\(\dfrac{4}{5}\cdot\displaystyle\int{\dfrac{1}{\left(x+\frac{7}{10}\right)^2+\frac{111}{100}}}\,\mathrm{d}x\)
Шаг 5
Делаем замену переменной:
\(u=x+\frac{7}{10}\) , тогда \(\mathrm{d}u=\mathrm{d}x\) и, следовательно, \(\mathrm{d}x=\mathrm{d}u\):
\(\dfrac{4}{5}\cdot\displaystyle\int{\dfrac{1}{u^2+\frac{111}{100}}}\,\mathrm{d}u\)
Шаг 6
Воспользовавшись табличным интегралом \(\left(\int\frac{1}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}\cdot \arctg\left(\frac{u}{a}\right)\right)\) , получаем:
\(\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{111}{100}}}\cdot\arctg\left(\frac{u}{\sqrt{\frac{111}{100}}}\right)\)
Шаг 7
Упрощаем:
\(\frac{8}{\sqrt{111}}\cdot\arctg\left(\frac{10\cdot u}{\sqrt{111}}\right)\)
Шаг 8
Возвращаясь к исходной переменной, окончательно получаем:
\(\frac{8}{\sqrt{111}}\cdot\arctg\left(\frac{10\cdot x + 7}{\sqrt{111}}\right)\)
Установить калькулятор на свой сайт

Как видно, наш онлайн калькулятор подробно рассписывает все шаги получения решения неопределенного интеграла, так что вы без труда сможете в них разобраться! Не стоит терять времени, воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором и получите подробное решение неопределенного интеграла прямо сейчас.

Другие полезные разделы:

Свойства неопределенного интеграла
Интегрирование методом замены переменной

Оставить свой комментарий: