Дифференциал функции онлайн

Дифференциалом функции называется главная (линейная по ) часть приращения функции. Чтобы понять данное определение, рассмотрим следующий рисунок.

На рисунке изображён график функции и касательной к ней в точке . Дадим аргументу функции некоторое приращение , тогда функция также получит некоторое приращение . Величина называется дифференциалом функции . При этом, из графика следует, что равно приращению ординаты касательной, проведённой в точке к функции . Именно поэтому дифференциалом называют линейную часть приращения функции, т.е. приращение ординаты касательной.

Из рисунка следует, что угол наклона касательной , который она образует с положительным направлением оси и - равны. Кроме того, тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке касания:

Из треугольника следует, что:

Таким образом, дифференциал функции выражается следующей формулой:

Рассмотрим ещё такой момент: из рисунка следует, что , причем . Причем, чем меньше , тем меньший вклад в величину вносит значение . Т.е. при достаточно малых значениях , можно считать, что . Данное соотношение позволяет вычислять приближенное значение функции в точке , если известно её значение в точке .

Дифференциал высшего порядка (например порядка ) определяется как дифференциал от дифференциала -ого порядка:

Например, дифференциал второго порядка вычисляется следующим образом:

Аналогичным образом получаем формулу для вычисления дифференциала -ого порядка:

где - -ая производная функции по переменной .

Пару слов стоит сказать о вычислении дифференциала функции многих переменных, который в этом случае называется полным дифференциалом. Полный дифференциал функции, зависящей от -переменных определяется по формуле:

Выражения для дифференциалов высших порядков функции многих переменных можно получить исходя из общей формулы:

В общем случае, для возведения суммы в -ую степень необходимо воспользоваться формулой бинома Ньютона. Рассмотрим процесс получения формулы полного дифференциала второго порядка функции двух переменных:

Наш онлайн калькулятор способен вычислить дифференциалы разных порядков для любых функций одной или нескольких переменных с описанием подробного решения на русском языке.