Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется хотя бы одно из двух условий:
Один (или оба) из пределов интегрирования равен
или
. В этом случае, интеграл называется
несобственным интегралом первого рода, например:
.
В любой точке на отрезке интегрирования, подинтегральная функция терпит бесконечный разрыв. В этом случае, интеграл называется
несобственным интегралом второго рода, например:
в точке
.
Рассмотрим в качестве примера
несобственный интеграл
первого рода
. График подинтегральной функции
на отрезке интегрирования
имеет вид:
Геометрически, данный несобственный интеграл равен площади под графиком функции на отрезке . Рассматриваемый интеграл является сходящимся, потому что указанная площадь равна - конечному числу. Однако, несобственные интегралы бывают и расходящимися, например:
Алгоритм вычисления несобственного интеграла первого рода выглядит следующим образом:
Сначала мы заменяем бесконечный предел на некоторый параметр, например и получаем определенный интеграл. Этот интеграл мы вычисляем обычным образом: берем неопределенный интеграл и далее используем формулу Ньютона-Лейбница. На завершающем этапе, мы вычисляем предел при и, если, данный предел существует и конечен, тогда исходный несобственный интеграл является сходящимся, а в противном случае - расходящимся.
Алгоритм вычисления несобственного интеграла второго рода заключается в разбивке интервала интегрирования на отрезки в каждом из которых подинтегральная функция является непрерывной (разрывы допускаются только на концах отрезка). Далее, вычисляются полученные определенные интегралы, а при подстановке значений в формулу Ньютона-Лейбница вычисляются соответствующие пределы. И если все эти пределы существуют и конечны, тогда, как и раньше, интеграл является сходящимся, а в противном случае - расходящимся. Приведем пример:
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha способен вычислить очень многие типы несобственных интегралов. При этом, если интеграл расходится, калькулятор выдает сообщение: integral does not converge.