Несобственный интеграл онлайн

ссылка для быстрой прокрутки к виджету калькулятора

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется хотя бы одно из двух условий:

Один (или оба) из пределов интегрирования равен или . В этом случае, интеграл называется несобственным интегралом первого рода , например: несобственный интеграл e^(-x^2) от 0 до oo.

В любой точке на отрезке интегрирования, подинтегральная функция терпит бесконечный разрыв. В этом случае, интеграл называется несобственным интегралом второго рода , например: несобственный интеграл 1/(x^2-1) от 0 до 1 в точке .

Рассмотрим в качестве примера несобственный интеграл первого рода несобственный интеграл x^3*e^(-x^2) от 0 до oo . График подинтегральной функции x3ex2 на отрезке интегрирования [0, +oo] имеет вид:

график функции x^3*e^(-x^2) на отрезке [0;+oo]

Геометрически, данный несобственный интеграл равен площади под графиком функции x3ex2 на отрезке [0, +oo] . Рассматриваемый интеграл является сходящимся, потому что указанная площадь равна 12 - конечному числу. Однако, несобственные интегралы бывают и расходящимися, например: 0x1x2dx.

Алгоритм вычисления несобственного интеграла первого рода выглядит следующим образом:

afxdxlimbbafxdxlimbFxConstbalimbFbFalimbFbFa

Сначала мы заменяем бесконечный предел на некоторый параметр, например b и получаем определенный интеграл. Этот интеграл мы вычисляем обычным образом: берем неопределенный интеграл и далее используем формулу Ньютона-Лейбница. На завершающем этапе, мы вычисляем предел при b -> oo и, если, данный предел существует и конечен, тогда исходный несобственный интеграл является сходящимся, а в противном случае - расходящимся.

Алгоритм вычисления несобственного интеграла второго рода заключается в разбивке интервала интегрирования на отрезки в каждом из которых подинтегральная функция является непрерывной (разрывы допускаются только на концах отрезка). Далее, вычисляются полученные определенные интегралы , а при подстановке значений в формулу Ньютона-Лейбница вычисляются соответствующие пределы. И если все эти пределы существуют и конечны, тогда, как и раньше, интеграл является сходящимся, а в противном случае - расходящимся. Приведем пример:

421x26x8dxarcsin3x42limx40arcsin3xlimx20arcsin3xπ2π2π

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha способен вычислить очень многие типы несобственных интегралов.

Калькулятор несобственных интегралов
ex2dx


Установить калькулятор на свой сайт

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий: