Несобственный интеграл онлайн

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется хотя бы одно из двух условий:

Один (или оба) из пределов интегрирования равен или . В этом случае, интеграл называется несобственным интегралом первого рода, например: несобственный интеграл e^(-x^2) от 0 до oo.

В любой точке на отрезке интегрирования, подинтегральная функция терпит бесконечный разрыв. В этом случае, интеграл называется несобственным интегралом второго рода, например: несобственный интеграл 1/(x^2-1) от 0 до 1 в точке .

Рассмотрим в качестве примера несобственный интеграл первого рода несобственный интеграл x^3*e^(-x^2) от 0 до oo. График подинтегральной функции на отрезке интегрирования имеет вид:

график функции x^3*e^(-x^2) на отрезке [0;+oo]

Геометрически, данный несобственный интеграл равен площади под графиком функции на отрезке . Рассматриваемый интеграл является сходящимся, потому что указанная площадь равна 12 - конечному числу. Однако, несобственные интегралы бывают и расходящимися, например:

интеграл от 0 до oo x/sqrt(1+x^2)

Алгоритм вычисления несобственного интеграла первого рода выглядит следующим образом:

алгоритм вычисления несобственного интеграла первого рода

Сначала мы заменяем бесконечный предел на некоторый параметр, например и получаем определенный интеграл. Этот интеграл мы вычисляем обычным образом: берем неопределенный интеграл и далее используем формулу Ньютона-Лейбница. На завершающем этапе, мы вычисляем предел при и, если, данный предел существует и конечен, тогда исходный несобственный интеграл является сходящимся, а в противном случае - расходящимся.

Алгоритм вычисления несобственного интеграла второго рода заключается в разбивке интервала интегрирования на отрезки в каждом из которых подинтегральная функция является непрерывной (разрывы допускаются только на концах отрезка). Далее, вычисляются полученные определенные интегралы, а при подстановке значений в формулу Ньютона-Лейбница вычисляются соответствующие пределы. И если все эти пределы существуют и конечны, тогда, как и раньше, интеграл является сходящимся, а в противном случае - расходящимся. Приведем пример:

алгоритм вычисления несобственного интеграла второго рода

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha способен вычислить очень многие типы несобственных интегралов. При этом, если интеграл расходится, калькулятор выдает сообщение: integral does not converge.

Калькулятор несобственных интегралов
ex2dx


Установить калькулятор на свой сайт

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий: