Проверить сходимость ряда можно несколькими способами. Во-первых можно просто найти сумму ряда. Если в результате мы получим конечное число, то такой ряд сходится. Например, поскольку
то данный ряд сходится. Если нам не удалось найти сумму ряда, то следует использовать другие методы для проверки сходимости ряда.
Одним из таких методов является признак Даламбера, который записывается следующим образом:
здесь и соответственно и члены ряда, а сходимость определяется значением . Если - ряд сходится, если - расходится. При - данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.
В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью признака Даламбера. Сначала запишем выражения для и . Теперь найдем соответствующий предел:
Поскольку , в соответствии с признаком Даламбера, ряд сходится.
Еще одним методом, позволяющим проверить сходимость ряда является радикальный признак Коши, который записывается следующим образом:
здесь - n-ый член ряда, а сходимость, как и в случае признака Даламбера, определяется значением . Если - ряд сходится, если - расходится. При - данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.
В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью радикального признака Коши. Сначала запишем выражение для Теперь найдем соответствующий предел:
Поскольку , в соответствии с радикальным признаком Коши, ряд расходится.
Стоит отметить, что наряду с перечисленными, существуют и другие признаки сходимости рядов, такие как интегральный признак Коши, признак Раабе и др.
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет протестировать сходимость ряда. При этом, если калькулятор в качестве суммы ряда выдает конкретное число, то ряд сходится. В противном случае, необходимо обращать внимание на пункт «Тест сходимости ряда». Если там присутствует словосочетание «series converges», то ряд сходится. Если присутствует словосочетание «series diverges», то ряд расходится.
Ниже представлен перевод всех возможных значений пункта «Тест сходимости ряда»:
| Текст на английском языке | Текст на русском языке |
|---|---|
| By the harmonic series test, the series diverges. | При сравнении исследуемого ряда с гармоническим рядом , исходный ряд расходится. |
| The ratio test is inconclusive. | Признак Даламбера не может дать ответа о сходимости ряда. |
| The root test is inconclusive. | Радикальный признак Коши не может дать ответа о сходимости ряда. |
| By the comparison test, the series converges. | По признаку сравнения, ряд сходится |
| By the ratio test, the series converges. | По признаку Даламбера, ряд сходится |
| By the limit test, the series diverges. | На основнии того, что , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. |